1. Türchen

Zahlendreher Weihnachtswichtel Herberts Lieblingszahl ist – wie könnte es anders sein? – die 24. Eines Tages fällt ihm auf, dass er bei Vertauschung der Ziffern die Zahl 42 erhält – auch eine sehr schöne Zahl! Da drängt sich ihm eine Frage auf: Gibt es eine allgemeine Rechenvorschrift, mit welcher man bei jeder zweistelligen Zahl die Ziffern vertauschen kann? Er überlegt: „Die Differenz von 42 und 24 ist 18. 21-12=9. 82-28=54. …“ Herbert probiert und probiert, kommt aber schon bald nicht mehr weiter. Kannst Du ihm helfen? Wie lautet eine Rechenregel zur Vertauschung der Ziffern einer zweistelligen Zahl? Für Fortgeschrittene: Begründe die Gültigkeit Deiner Rechenregel formal.

Lösung

Bilde die Differenz aus den Ziffern der größeren Zahl. In unserem Beispiel ist 42 die größere Zahl. Die Differenz der Ziffern ist also: 4 − 2 = 2 Multipliziere nun mit 9: 2 ⋅ 9 = 18 Subtrahiere das Ergebnis von der größeren Zahl: 42 − 18 = 24 Formale Begründung: Die zweistellige Zahl 𝑥𝑦 und die Zahl 𝑦𝑥, die sich durch Vertauschung der Ziffern ergibt, können wie folgt dargestellt werden: 𝑥𝑦 = 10𝑥 + 𝑦 𝑦𝑥 = 10𝑦 + 𝑥 Es soll gelten: 𝑥 > 𝑦. Die Differenz der beiden Zahlen ist: 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 = 10𝑥 + 𝑦 − (10𝑦 + 𝑥) = 10𝑥 − 𝑥 − 10𝑦 + 𝑦 = 9𝑥 − 9𝑦 = 9 ⋅ (𝑥 − 𝑦) Deshalb gilt allgemein (für zweistellige Zahlen mit 𝑥𝑦 > 𝑦𝑥): 𝑥𝑦 − 9 ⋅ (𝑥 − 𝑦) = 10𝑥 + 𝑦 − 9𝑥 + 9𝑦 = 𝑥 + 10𝑦 = 𝑦𝑥

eingereicht von Frau Völker

Bitte beachte für die Teilnahme die Hinweise auf der Hauptseite.